ИССЛЕДОВАНИЕ МИРА ФРАКТАЛОВ

4
(16)

Качалин Илья Сергеевич, Кожемякина Елена Михайловна

Научный руководитель: Репкина Анжелика Александровна, преподаватель

Мценский филиал ОГУ им. И.С. Тургенева, г. Мценск

E-mail:repkina-13@mail.ru

Аннотация

Фракталы меняют наши взгляды на геометрические свойства природных и искусственных объектов. Теории, разрабатываемые на основе этих понятий, открывают новые возможности в различных областях знаний, в том числе в информационных и коммуникационных технологиях.

Изучением фракталов занимается фрактальная геометрия. Сама природа пользуется её достижениями и примеров этого множество: от спиралей раковины и до симметрии шестиугольных пчелиных сот. С «самоподобием» можно встретиться, при исследовании формы молекул или галактик. Все объекты во Вселенной взаимопроникают друг в друга.

На сегодня фракталы еще не изучены до конца, им находят все новое применение. Интерес к исследуемой  теме обусловлен возросшей ролью фракталов не только в компьютерной графике, но и в других сферах деятельности.

Цель данного проекта – исследование мира фракталов для приобретения навыков по разработке фрактальных моделей и для повышения профессиональных навыков в сфере компьютерной графики.

Данная цель будет реализована путём решения следующих задач:

— изучить основные понятия фрактальной геометрии и историю открытия

фракталов;

— проанализировать классификацию фракталов и выявить области их применения;

—  сформулировать общие принципы построения фракталов;

—  разработать алгоритм построения дерева Пифагора;

— исследовать возможности программной реализации разработанного алгоритма.


Вид береговой линии  морского побережья при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский  математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты – фракталами.

Рисунок 1 – Множество Мандельброта

Множество Мандельброта (рисунок 1) является классическим примером алгебраических фракталов, описанное еще в 1905 г. французским математиком Пьером Фату и впервые построенное Мандельбротом в 1980 г.

В настоящее время нет однозначного определения «фрактала» [8]. Фракталы, обладающие свойством повторения фрагмент при каждом уменьшении масштаба и получающиеся при простой рекурсии, называют конструктивными фракталами.

Кроме этого были обнаружены множества, похожие на фракталы, возникающие в нелинейных динамических системах. Они могут обладать масштабной инвариантностью лишь приближенно и называются динамическими фракталами [7]. В связи с этим Мандельброт ввел другое определение фрактала: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Под фракталами понимают множества, демонстрирующие на разных масштабах разрешения своей геометрической структуры свойства подобия в строгом или приближённом смысле, а также объекты в природе, обладающие этим свойством, хотя бы приближённо, в достаточно широком интервале масштабов [5].

Изучением фракталов занимается раздел математики, получивший название Фрактальная геометрия[1]. Основной величиной фрактальной геометрии является фрактальная размерность D.

Понятие фрактальной размерности возникло в ходе решения задачи об определении длины береговой линии, которая рассматривалась в работе Льюиса Ричардсона в 1961 году. При решении  этой задачи получилось, противоречие, связанное с невозможностью точно определить длину линии побережья из-за её фракталоподобных свойств, которое называется парадоксом береговой линии[3].

Фракталы известны давно и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций — копирования и масштабирования.

Фракталы используются, когда невозможно описать объекты с помощью простых фигур. Они  позволяют моделировать объекты, что используется в различных компьютерных программах.

Фракталы делятся на группы: геометрические фракталы, алгебраические фракталы, системы итерируемых функций,  стохастические фракталы, музыкальные фракталы [2]. 

Сферы применения фракталов достаточно обширны:

1) Компьютерные системы — фрактальное сжатие данных.

2) Механика жидкостей — изучение турбулентности в потоках.

3) Телекоммуникациииспользование антенны, имеющие фрактальные формы.

4) Физика поверхностей — для описания кривизны поверхностей.

5) Медицина – фрактальная структура  биений сердца.

6) Биология — моделирование хаотических процессов при описании популяций.

7) Экономика — моделирование рыночных процессов [6].

Наиболее наглядное использование фрактальной геометрии происходит в компьютерной графике. Рассматривая каждый кадр в мультфильме, становится  интересно, как создавались  пейзажи. Все деревья, трава и снежинки созданы с помощью фракталов. Изменяя частоту, можно добиться различных результатов.

При создании графических фракталов мы выполняем,  роль художника и изобретателя. Для создания рисунка надо: задать форму рисунка математической формулой, исследовать сходимость процесса, изменяя его параметры, выбрать вид изображения, выбрать палитру цветов.

Мы исследовали алгоритм построения обнаженного обдуваемого ветром дерева Пифагора. Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему[4], построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты (рисунок 2,1).  Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора. Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные «центры» треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора (рисунок 2,2).

Рисунок 2 – Дерево Пифагора: 1- классическое; 2 — обнаженное обдуваемое

Разработаем подробный алгоритм построения обнаженного обдуваемого ветром дерева Пифагора.

Рисунок 3 — Алгоритм построения дерева

1) Строим вертикальный отрезок (рисунок 3). Координаты начальной точки (x, y) можно задать произвольно, координаты конечной точки (x1, y1) вычисляются с использованием тригонометрических функций по следующим формулам:

x1 = x + a0 * cos(b0),

y1 = y – a0 * sin(b0);

где а0 – длина отрезка, задаётся произвольно, b0 – угол между отрезком и осью Oх, для первого отрезка b0 = 90°.

2) Из верхнего конца этого отрезка строим еще 2 отрезка под определенными углами (рисунок 3). Чтобы создать эффект действия ветра задаём разные углы отклонения от построенного отрезка, например b1 = 45°,  b2 = 30°. Чтобы обеспечить масштабируемость фрактала, длину отрезка будем уменьшать в k раз, умножив её на коэффициент k, который подбирается произвольно. Например, возьмём k = 0,7. Координаты новых точек вычисляются по уже представленным выше формулам  x1 = x + a * cos(b),  y1 = y – a * sin(b); где a = k*a0, b = b0+b1 для левого отрезка и b = b0-b2 для правого.

3) Повторяем предыдущий шаг для построения последующих отрезков до тех пор, пока ветви дерева будут различаться глазом (рисунок 3). Мы выяснили, что для хорошего визуального восприятия можно ограничить длину отрезка a> 4 (пикселей). При этом длина отрезка будет уменьшаться в k раз на каждом шаге, т. е. an = an-1*k или an = a0*kn, а углы относительно оси Ox будут изменяться по формулам bn = bn-1+45° для левого отрезка и bn = bn-1-30° для правого.  

Осуществив, программную реализацию данного алгоритма  получили следующие результаты (рисунок 4).

Рисунок 4 — Этапы рисования обнаженного обдуваемого ветром дерева

При изменении параметров можно получать разные виды деревьев (рисунок 5).

Рисунок 5 — Виды обнаженного обдуваемого ветром дерева при изменении параметров

При работе  с цветами  можно создать деревья для разных времен года (рисунок 6).

Рисунок 6 — Виды дерева при изменении цвета

Таким образом можно создавать разные объекты в сфере компьютерной графики. Проведя данное исследование были получены навыки по разработке фрактальных моделей.

Фрактал может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев,  береговые линии. Древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, кровеносной системы, а также для создания, похожих на настоящие, виртуальных объектов.

 

Список использованных источников

  1. Балханов В.К. Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления / В.К. Балханов ; отв. ред. Ю.Б. Башкуев. – Улан-Удэ : Изд-во Бурятского госуниверситета, 2013. – 224 с. – Текст : непосредственный.
  2. Бекман И.Н. Фракталы / И.Н. Бекман : [сайт]. – URL: https:// beckuniver.ucoz.ru/Fractaly_Lec2.pdf (дата обращения: 03.02.2020). – Текст : электронный.
  3. Гринченко В.Т. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы / В.Т. Гринченко, В.Т. Мацыпура, А.А. Снарский. – Изд. 3-е, испр. и доп. – Москва : Издательство ЛКИ, 2010. – 280 с. – Текст : непосредственный.
  4. Елисеева Л.А. Что придумал Пифагор / Л.А. Елисеева, Л.А. Карнаух, А.С. Злыгостев : [сайт]. – URL :  http://kompozitor.su/ books/item/f00/ s00/z0000003/st045.shtml. – Текст : электронный.
  5. Кузнецов С.П. Динамический хаос / С.П. Кузнецов. – Москва : Физматлит, 2001. – 296 с. – Текст : непосредственный.
  6. Лёушкин А. Фракталы в экономике / А. Лёушкин : [сайт]. – URL: https://m-rush.ru/theory/item/173-fraktaly-v-ekonomike.html.–Текст:электронный.
  7. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов / А.Д. Морозов : [сайт]. – URL: http://padaread.com/?book=14102&pg=5. – Текст : электронный.
  8. Понятие «фрактал» : [сайт]. – URL: http://fractbifur.narod. ru/html/index1.html. – Текст : электронный.
  9. Популярно о фракталах: многообразие фракталов и их классификация : [сайт]. – URL: https://novainfo.ru/article/3951. – Текст : электронный.
  10. Разнообразный мир фракталов : [сайт]. – URL: https://www. liveinternet.ru/users/4373400/post222332446. – Текст : электронный.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4 / 5. Количество оценок: 16

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

Добавить комментарий